O dilema das 3 portas

Essa semana perdi meu tempo assistindo a um programa de auditório, daqueles que durante suas grandes atrações oferecem prêmios mediante a escolha de 3 portas (Isso não lembra o Sérgio Malandro e sua porta dos desesperados?). Em dado momento uma das portas já havia sido revelada e o apresentador disse a seguinte frase: Olha só Dona Maria, as nossas estatísticas dizem que quem troca a porta que já escolheu tem mais chance de ganhar o prêmio. E não é que aquele cara tinha toda razão?

Isso é um problema bem legal de probabilidade. Vamos ilustrá-lo da seguinte forma: Você está num programa de auditório e o apresentador lhe pede para escolher entre 3 portas. Atrás de uma delas tem um lindo carro que é seu grande prêmio, nas outras duas você ganha esquisitos cabritos de aparelhos nos dentes.

Na primeira parte do problema o apresentador pede para que você escolha uma das portas (A, B ou C). A chance de você escolher a porta com o carro nesse momento é de 1/3 (uma para três), ou de 33,33%. As três portas têm a mesma probabilidade de ter o prêmio, já que nesse exemplo o jogo não é viciado e não temos um produtor trocando carro e cabritos entre as portas.


Você escolhe ,por exemplo, a porta A, nesse instante entra a segunda parte da brincadeira. Tendo escolhido uma porta o apresentador diz que vai revelar o conteúdo de uma das outras duas portas não escolhidas. Ainda no exemplo, se ele revelar a porta C e se atrás dela estiver o carro a chance de você ganhar passa de 33.33% para 0%. Ou seja, você ganhou um dos cabritos esquisitos de aparelho nos dentes e vai ter que achar uma serventia para ele.

Mas e se um dos cabritos esquisitos estiver atrás da porta C? Sua chance de ganhar passa para 50% certo? Errado. Mesmo com o cabrito esquisito de aparelho nos dentes sendo revelado a chance de você ganhar o carro ainda está na faixa dos 33,33%, ou seja, a sua chance de ganhar ainda é de 1/3. A revelação de uma das portas não altera suas chances de ganhar o carro, elas seguem o momento em que a primeira escolha foi feita e seu contexto: a escolha entre três (portas).

Como então aumentar suas chances de ganhar? Como disse o apresentador no primeiro parágrafo a sua maior chance de ganhar o prêmio se encontra na troca da sua escolha inicial. Quando você escolhe uma nova porta, significa que sua chance de ganhar passa de 1/3 para 1/2, ou seja, de 33.33% para 50%. Isso porque seu espaço amostral passa de três (3) elementos para apenas dois(2), o que aumenta suas chances de levar o carro e não levar o cabrito.

Claro, aumentar suas chances não garante que você levará o carro. Mas é sempre melhor manter a probabilidade do nosso lado, e não depender apenas da sorte quando estão em jogo carros e cabritos esquisitos de aparelho nos dentes.